关于解决实际问题过程中“检验”环节的困惑与思考
发布时间：2022-02-24 18:45:31来源：小学数学教师交流
本学期，我们教研组选择了苏教版教材四年级上册“解决问题的策略”单元的教学作为研讨主题。在设计并实施本单元例1（如下图）的教学过程时，遇到一个非常棘手的问题----学生在根据问题分类整理条件，并灵活应用从条件或问题出发进行分析和思考的策略解决教材提出的问题之后，究竟应该怎样引导他们进行“检验”？几轮试讲下来，笔者对这个问题产生了越来越多的困惑。
根据以往的教学经验，几位上课教师都着力引导学生通过“把得数代入原题”的方法进行检验，并将检验方法归结为解决如下的几个相关的问题：
（1）小芳家栽了3行桃树、4行梨树，桃树和梨树一共有41棵。桃树每行7棵，梨树每行多少棵？
（2）小芳家栽了3行桃树、4行梨树，桃树和梨树一共有41棵。梨树每行5棵，桃树每行多少棵？
（3）小芳家栽的桃树和梨树一共有41棵。桃树每行7棵，有3行；梨树每行5棵，有多少行？
（4）小芳家栽的桃树和梨树一共有41棵。梨树每行5棵，有4行；桃树每行7棵，有多少行？
容易看出，上面这些用来检验的任何一个问题与例题本身相比，难度明显要大很多。事实上，从运算的步数来看，正是因为这部分内容是学生第一次学习用三步运算解决实际问题，所以教材选择的例题难度并不是很大----尽管有多余条件，但只要将已知条件和所求问题真正联系起来思考，确定解题思路通常不会有太多的困难。另一方面，如果采用上述“把得数代入原题”的方法进行检验，教学时就不得不花费更多的时间讨论相关实际问题的解法。这样做真的符合教材编写的本意吗？我们是否还有更好的教学选择？为此，我们组织了更加深入的研究。
【调查】
为了更加准确地了解学生面临“检验”要求时的真实想法，笔者选择了一道与例题类似的实际问题进行课前调查：城中小学四年级有3个班，每班35人；五年级有4个班，每班38人。城中小学四、五年级一共有多少人？（列式解答并检验）
从收回的调查卷可以看出，除极个别学生出现信息选择错误（即如把四年级的班级数与五年级每班的人数相乘），或计算错误之外，绝大部分学生都能正确列式解答，参与调查的133名学生中能够正确解答的占97.7％。从检验情况来看，学生的选择的检验方法以及所占的百分比如下表。
调查结果分析汇总表
检验方法
选择人数
占比（％）
把得数代入原题
3
2.3
先减再除
44
33.1
先乘再减
53
39.8
用不同方法重算
12
9.0
用同样方法重算
8
6.0
不会验算
13
9.8
首先对上表中所列的各种具体检验方法做一些简要说明。
（1）“把得数代入原题”，就是教师期望的最为规范的检验方法，也就是根据求出的总人数，倒过来求出某个年级的班级数或每班的人数。
（2）“先减再除”，是指把四年级（或五年级）的总人数看做已知条件，来求五年级（或四年级）每班的人数或班级数。即如：257﹣105=152（人），152÷4=38（人）；或257﹣152=105（人），105÷3=35（人）。上述方法是比较接近“把得数代入原题”这一方法的，只不过没能严格地将四年级或五年级的总人数作为“中间问题”来对待。
（3）“先乘再减”，是指验算时只求出了四年级（或五年级）的总人数，但没有进一步求出四年级（或五年级）每班的人数（或班级数）。即如：35×3=105（人），257﹣105=152（人）；或38×4=152（人），257﹣152=105（人）。与“把得数代入原题”相比，上述方法没有进一步求出相关年级的班级数或每班人数，但也有了“把得数代入原题”的影子。
（4）“用不同方法重算”，主要包含两种具体情况，一是原来分步解答的，检验时改为列综合式解答（尽管还没有学过三步运算的综合式题）；二是通过交换乘数或加数的位置再算一遍。很明显，采用上述验算方法的学生，是想通过不同的解题方法来验证原先的计算结果。
（5）“用同样方法验算”，就是把原先列出的算式重写并重算一遍。在个别访谈中，这些学生承认是因为实在找不到合适的验算方法，不得已选择了这一“下策”。
（6）“不会验算”的情形也有两种，一种是没有写出检验过程，另一种是写出的检验过程不合逻辑。即如：105﹢152=257（人），257﹣257=0（人）；或257﹣105=152（人），152÷4=38（人），105÷3=35（人）。
【思考】
本节课的检验究竟应该如何处理？我们再一次陷入了深深的思考。查阅《辞海》，“检验”一词的基本义项是“考查验证”。查阅《课程标准（2011年版）》中各个学段“解决问题”的具体目标，与“检验”有关的要求主要体现在“反思”的过程中----第一学段的要求是“尝试回顾解决问题的过程”，第二学段的要求是“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”，第三学段的要求是“能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识”。
比较教材中不同解决问题策略以及相关解决实际问题的例题编排过程----第一学段都没有明确提出检验的要求，只是引导学生回顾解决问题的过程，说说自己的体会。从四年级上册“用连除计算解决实际问题”开始，教材陆续提出检验的要求。其中，明确要求学生用“把得数代入原题”的方法进行检验的，一共有三处，分别是：四年级上册“用连除计算解决实际问题”，四年级下册“用画图策略解决问题”的例1，五年级下册“简易方程”中的例9。其余的都只是笼统地要求学生“解答并检验”，而没有提示具体的检验方法。
进一步分析不难发现，上面提到的三处用“把得数代入原题”的方法进行检验的问题分别是“用连除计算解决的实际问题”、“和差问题”以及“和倍问题”。用“把得数代入原题”的方法这几类实际问题时，思路相对简单，学生理解的难度也相对较小。
综上可见，所谓检验，重点就是引导学生通过对解决问题过程的回顾和反思，判断结果是否合理。一般来说，具体的检验方法主要有如下的三种：一是回顾并检查解决问题的过程，侧重看解题的思路是否合理、计算的结果是否正确；二是通过用不同的方法解决问题，看两次解题的结果是否相同；三是把求得的结果作为一个已知条件，把原来的某个条件看作问题，编出一个新的实际问题，看得到的结果与原来的条件是否相符。这几种检验的方法应该各有利弊，实际应用时要根据问题自身的特点合理灵活地加以选择。具体到本节课中“求两积之和”的实际问题，笔者认为，在引导学生“分析并解答”之后侧重应该带领他们经历检验的活动环节，感受检验的必要性，而不必拘泥于采用某种特定的检验方法。
【实践】
在学生基于所求问题分类整理条件、分析数量关系，并列式解答之后，组织如下的讨论。
师：回顾上面解决问题的过程，你能再说说每一步算出的分别是什么吗？
生：第一步用3×7算出的是桃树的棵数，第二步用4×5算出的是梨树的棵数，第三步用21﹢20算出的是桃树和梨树一共的棵数。
师：算桃树棵数时，为什么要用3×7？算梨树棵数时，为什么要用4×5？
生：因为桃树有3行，每行有7棵；梨树有4行，每行有5棵。
师：再次检查一下，每一步计算的结果都正确吗？有没有哪个同学算错了？
学生各自检查，再次确认计算的结果。
师：如果用算出的总棵数减去桃树的棵数，得到的会是什么？
生：得到的应该是梨树的棵数。
师：按上面这样的思路算出梨树棵数之后，再用算出的结果除以梨树的行数，得到的又会是什么？
生：应该是每行梨树的棵数。
师：通过刚才的讨论，你还能想到些什么？
生1：用算出的总棵数减去梨树的棵数，得到的应该是桃树的棵数。
生2：用桃树的棵数除以桃树的行数，得到的应该是每行桃树的棵数。
生3：用桃树的棵数除以每行桃树的棵数，得到的应该是桃树的行数。
……
实践表明，上面这样的讨论既有助于引导学生回顾和反思解决问题的过程，感受解题思路的合理性，确认运算结果的正确性，也有助于他们感受检验方法往往是多样的，从不同角度进行思考不仅能够更好地验证所求的结果，而且能够更加深刻地理解相应的数量关系，进而提高分析和解决问题的能力。正如《课程标准（2011年版）》中所说，“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的”。对检验方法的教学也不应是一蹴而就，而应是逐步渗透、不断提高认识，并最终形成自觉意识的长期过程。